วิธีการหาพื้นที่ของส่วนวงกลม

หนึ่งในปัญหาทางเรขาคณิตที่พบบ่อยคือการคำนวณพื้นที่ของส่วนวงกลม - ส่วนหนึ่งของวงกลมล้อมรอบด้วยคอร์ดและคอร์ดที่สอดคล้องกันของส่วนโค้งของวงกลม

พื้นที่ของส่วนวงกลมเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของภาควงกลมที่สอดคล้องกันและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากรัศมีของส่วนที่สอดคล้องกันของภาคและคอร์ดขอบเขตส่วน

ตัวอย่างที่ 1

ความยาวของคอร์ดที่ทำสัญญาวงกลมเท่ากับค่าของ การวัดองศาของส่วนโค้งที่สอดคล้องกับคอร์ดคือ 60 ° ค้นหาพื้นที่ของส่วนวงกลม

การตัดสิน

รูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยสองรัศมีและคอร์ดคือหน้าจั่วดังนั้นความสูงที่ดึงจากด้านบนของมุมศูนย์กลางไปที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากคอร์ดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมศูนย์กลางแบ่งครึ่งและมัธยฐานแบ่งครึ่ง เมื่อทราบว่าไซน์ของมุมในสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉากเราสามารถคำนวณรัศมี:

บาป 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a

พื้นที่ของภาคที่สอดคล้องกับมุมที่กำหนดสามารถคำนวณได้โดยสูตรต่อไปนี้:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับภาคมีการคำนวณดังนี้:

S ▲ = 1/2 * ah โดยที่ h คือความสูงที่ลากจากมุมบนด้านบนไปยังคอร์ด ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2

ดังนั้น S ▲ = √3 / 4 * a²

พื้นที่ของส่วนที่คำนวณเป็น Sseg = Sc - S ▲เท่ากับ:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

การแทนที่ค่าตัวเลขแทน a คุณสามารถคำนวณค่าตัวเลขของพื้นที่เซ็กเมนต์ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างที่ 2

รัศมีของวงกลมเท่ากับ a การวัดองศาของส่วนโค้งที่สอดคล้องกับส่วนคือ 60 ° ค้นหาพื้นที่ของส่วนวงกลม